如果一个孩子，其学习能力与成绩在其班级属中上等水平，上课也能够认真听讲，按要求完成作业，其课堂上应该掌握的基本知识都无明显缺陷。那么为什么在做题时总是似会非会，解题前总是说自己这也能会，那也能会，一到解题时总是卡住，总是报怨这没想到，那没想到？问题出在哪里呢？

就拿应用题来说吧。在初中阶段，有很多孩子害怕列方程解应用题，形成一种“害怕方程”的情绪倾向，并长期表现为单学科功课学习心理障碍。针对这样一种情况，我们当前需要做的是向孩子大脑中输入确定的、核心的原有知识固定点。

首先，在学习用方程解决应用题之前，懂得方程就是含有未知数的等式。例如，在学习一元一次方程时，一元一次方程概念是含有一个未知数，未知数的次数是一次的等式。一元二次、二元一次、三元一次都是同理。通过学习方程概念，理解方程的性质，通过理解方程更容易顿悟出如何用方程解应用题。在练习期间让学生回想：方程的实质，即含有未知数的等式。后来渐渐地让学生懂得用方程解应用题关键是用设的未知数找出题中的等量关系列出等式，也就是列含有未知数的等式——方程。同时举一两个简单的例子来强化方程概念这个核心固定点，从而让学生首先在大脑中有一个稳固而深刻的印象。

经过练习使须生在获得稳固的概括性核心固定点知识基础上，迅速获得一组在大量概括性知识支持下的程序性知识：在解决应用题时迅速从大脑中提出这一思路，设出未知数，寻找题中的等量关系，列出含有未知数的等式——方程。从而可以避免学生在解题时不知从何下手的状态。由于这一知识是指导学生解决问题学习心向的知识，所以也是认知策略知识。

另外，为了使被试大脑中获得稳定清晰的核心固定点知识，在练习初期专攻一元一次方程问题。

有关一元一次方程解应用题可以说是最简单、最基本的问题。如果这类题掌握得很熟练，很清晰，那么二元一次、三元一次、一元二次都将迎刃而解。因为它们之间有较强的同化关系，只是未知数的个数不同，或者是未知数的指数不同。随着未知数的个数增加，题中所给列等式条件也随着增加，学生列方程的个数发生了变化，也就是要找的等量关系数目增加。学生只要掌握已知中所给列等式的条件，找等量关系列出等式，那么所有的应用题都能解答。所以，我们如果专攻一种类型的方程问题，是有利于学生专心获得对方程概念的理解和向寻找等量关系与解题方法知识方面过渡的。

我们可以先让学生学习有关行程方面的问题。当被试在反复地练习行程问题时，他们会获得用方程解决行程问题的能力图式，即内容图式；但他们还要学习其他领域的问题，如浓度问题、工程问题等。为了使后来的学习变得容易，就必须找出它们的共性加以概括。

第一，在进行专门的行程问题练习之后，尽量让学生发现：在解行程问题中掌握三个基本量，即路程、时间和速度。

速度＝路程／时间；

时间＝路程／速度；

路程＝速度×时间。

特殊情况：行程问题中等量关系的建立包括三个方面的小问题，即相遇问题、追及问题、水流问题。

在这些知识获得之后，在后来的某些内容学习中便可充当先行组织者，同化吸收其他内容的方程问题。因为在下面所谈的几个方面，都含有三个基本量。

第二，用以同化浓度问题中的等量关系的寻找。浓度问题也有三个基本量是：浓度、溶液和溶质。这三者关系：

浓度＝溶质／溶液；

溶液＝溶质／浓度；

溶质＝溶液×浓度。

特殊情况：浓度问题找等量关系的关键在于，寻找溶液变化前后的不变量，来作为等量利用写出等式。

第三，用于同化工程问题的等量关系的寻找。在工程问题中，也有三个基本量：工作量、工作效率和工作时间。通过这三个基本量找等量关系，列等式：

工作时间＝工作量／工作效率；

工作效率＝工作量／工作时间；

工作量＝工作效率×工作时间。

解决这类问题有时把工作量看成一个整体，即整体“1”，所以：

工作效率＝l／工作时间；

工作时间＝l／工作效率。

根据上面这三个基本量的确定，工程问题列方程寻找等量关系可以从下面三个角度考虑：(1)全部工作量＝各队工作量之和；(2)各队合作效率＝各队工作效率之和；(3)原计划完成工作时间＝实际时间+提前时间。

列方程，关键是怎样找出问题的等量关系，而找等量关系，关键是理解和分析变量及其相互关系。一旦这一程序性知识稳固了，可以同化后来的各种各样方程问题的解决办法。所以，在初学阶段，专门教会学生理解怎样找等量关系，等这一知识特别稳固了再向前扩展到有关的变式情境。

下面来研究具体的操作实例。

(一) 行程问题

根据前面介绍的行程问题中的各等量关系，以例子来具体说明。

例1：一条街长2千米，甲乙两学生从街的两头相向而行，甲骑摩托车每小时比乙快15千米，乙步行，经过4分钟后两人相遇，问乙每小时行多少千米？

寻找等量关系，根据甲乙速度关系：甲速一乙速＝15；根据甲乙相遇距离＝(甲速一乙速)×时间。设乙每小时行 千米，则甲每小时行 +15千米，根据相遇问题的基本等量关系列方程： 。

例2：甲骑自行车，以每小时15千米的速度，从a地前往b地，16分钟后乙骑自行车以每小时比甲快3千米的速度行驶，如果甲乙两人同时到达b地，问a、b两地距离。

分析题意，寻找等量关系，甲16分钟后的时间与乙全程时间相等。

设a、b相距x，列方程：x／15—16／60＝x／(15+3)。

例3：已知一汽船在顺水中航行46千米和在逆水中航行34千米，共用去的时间，正好等于它在静水中航行80千米用去的时间，并且水流速度是2千米／时，求汽船在静水中的速度？

分析题意，找等量关系。设静水中速度为x，列方程：46／x一2+34／x+2＝80／x

(二)浓度问题

根据前面谈到的浓度问题的各等量关系，下面以例子来具体说明。

例1：有1000克碘酒，应加多少克纯酒精，才能含碘3％?

分析这道题前后两个状态中的不变量，其中前后不变的量是溶质碘，即原溶质＝现溶质，而原溶质＝原溶液×原浓度，现溶质＝现溶液×现浓度，所以原溶液×原浓度＝现溶液×现浓度，现溶液＝原溶液+加入的纯酒精。

设加入的纯酒精为x，列方程：1000×15％＝(1000+x)×3％

例2：要从含盐15％的50公斤盐水里，制成含盐20％的盐水，问：(1)需要多少公斤盐？(2)应蒸发水多少？

找等量关系列方程，在浓度问题中关键是寻找前后两状态中不变的量。

问题（1）分析：溶液中水是溶剂，盐是溶质，盐水是溶液。问加盐多少，说明溶质发生了变化，不变的量是溶剂。根据溶剂前后量不变列等式：原溶液×(1一浓度)＝现溶液×(1一现浓度)，而现溶液＝原溶液+加入的盐

设加入的盐为x克，列方程：50×(1一15％)＝(50+x)×(1—20％)

问题（2）分析：问蒸发水多少，说明溶剂变化，溶液也变化了。不变的量即为溶质，根据溶质前后没有发生变化列等式：原溶液×原浓度＝现溶液×现浓度，而现溶液＝原溶液一蒸发的水。

设蒸发x公斤水，列方程：50×15％＝(50—x)×20％

有关浓度问题的求解，都是寻找前后不变的量，即找等量，该例题是用一元一次方程解应用题。

例3：一个容器盛满烧碱溶液，第一次倒出l升后，用水加满，第二次倒出10升用水再加满，这时容器内的溶液浓度是原来溶液浓度的l／4，求容器的容积。

该例题代表一类题型，它与上面例题中浓度问题的不同在于这里浓度指体积浓度，而前面的例题讲的是质量浓度。无论是体积浓度还是质量浓度，都同样涉及到前面所讲的三个基本量，溶质、溶液和溶剂，只是这里用体积表示，但三者的关系是一样的，因此找等量关系的方法是相同的。

此题利用溶质前后变化结果，列等式：总的溶质量一两次倒出的溶质＝溶液×浓度。

设容器的容积为x，原有浓度为a%，列方程：

x×a%一10×a%一(x一10)×a%×10/x=1/4×a%×x

整理：x一10一(x—10)／x×10＝1／4×x

(三)数字问题

有关这类题型基本上有两中变化关系，一是数位上数字之间的等量关系；二是数中某几个数位上的数字交换，给出原数和新数之间的等量关系。

例l：一个三位数的各位位数上的数字之和是18，百位数字与十位数字的和比个位数字大4，如果把个位数字与百位数字对调，那么，所得的三位数就比原来的三位数大487，求原来的三位数。

设原三位数字，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，

列方程组：

例2：一个三位数的十位数字比个位数字大5，百位数字等于个位数字的平方，如果这个三位数比它的个位数字与十位数字积的20倍大208，问这个三位数?

分析题意，题中给出了三个等量关系，因此可以列三个方程，前两个等量关系是数字之间关系，第三个等量关系是新数与原数的等量关系。

设个位数字为 ，十位数字为 ，百位数字为 ，列方程组：

该例题已经超出了三元一次方程和一元二次方程，但之所以能列出方程，关键是根据题中所给的等量关系列等式。

(四) 工程问题

例1：某人承包植树240棵的任务，计划若干天完成植树，两天后，由于天气原因，平均每天植树8棵，因此延续4天完成任务，求原计划完成任务的天数。

找等量关系列等式，按计划完成工作量+改进速度工作量＝总工作量。设计划完成任务x天，列方程为：2×240／x十(x+4—2)×8＝240

这是利用分式方程来解应用题。与一元一次方程不同之处在于，分式方程中未知数做了分母，这只是方程解法不同。

例3：一个蓄水池，装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开放甲管，45分钟可以注满水池；如果单独开放乙管和甲管，90分钟可以注满水池。如果乙丙同时开放需要多长时间?

依据题意有三个等量关系，因此需要列三个方程。该题没有给总工作量，即将工作量看成整体1。

设乙单独工作用x分钟，丙用y分钟，合作用z分钟，根据题意列方程组：

在每周对学生进行两次补救式的学习方程辅导之后，学生的学习兴趣明显增强，并主动提出让老师给他们“多出点题，再试试”。试的结果是他已经能够自己总结过去在学习方程中存在的问题，并自觉加以纠正。

我们可以看出，在经过这样的训练后，孩子原来的畏惧心理明显消除了，而他从中有获得了什么呢？第一，巩固了原来就有的理解方程原理的概括性知识。虽然孩子原来没有以它为中心与许多其他知识建立稳定的联系，但现在知识在孩子大脑中知识的表征水平有了改变。同样多的知识，在大脑中怎样排列、组合，或有没有组织起来，或彼此联系是否正确，都将大大影响孩子的能力状态。如果孩子大脑中原来的许多知识都是散乱地，零零星星地储存着，在面临可以用方程解决的问题时，提取不出来，或很久才能提出来，势必影响大脑中的思维表征过程。第二，大脑中增加了几个固定点知识，用于指导、同化其他知识，使其他知识在大脑中变得稳固、清晰。这几个固定点知识先是陈述性知识：方程原理，工程问题、浓度问题、行程问题中的基本变量及其关系等。它们可以同化对后来学习数字问题、倍数问题、等积问题等过程中变量的寻找和理解。孩子大脑中一旦建立这种同化关系，往往在解决问题思维过程中反应敏捷，思路清晰。第三，孩子获得了认知策略。即运用方程解实际问题时，利用方程概念找等量关系的认知策略；找等量关系要在审题时找关键词的认知策略；在一元一次方程与一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程和分式方程中异中见同的认知策略；工程问题、浓度问题、行程问题之间互相同化的认知策略等。这些认知策略在孩子解题时起着指导思维方向的作用，它指导思维者往哪里想和不往哪里想；随后的思维过程是巧是拙，全在于认知策略水平是高是低。另一方面，这些认知策略在孩子大脑中全是核心固定点知识，它们可以同化许多其他学习方法和思维技巧，对孩子智慧影响最大。